积化和差公式的证明和记忆

积化和差公式的证明和记忆

2019-09-06 

积化和差公式的证明和记忆

积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。

公式

sinαsinβ=

-[cos

（α+β）

-cos

（α

-

β）

]/2

【注意右式前的负号】

cosαcosβ=[cos（α+β）

+cos

（α

-

β）

]/2 

sinαcosβ=[sin（α+β）

+sin

（α

-

β）

]/2 

cosαsinβ=[sin（α+β）

-sin

（α

-

β）

]/2 

证明

法

1 

积化和差恒等式可以通过展开角的

'

和差恒等式的右手端来证明。

即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：

sinαsinβ=

-1/2[-

2sinαsinβ]

=-

1/2[(cosαcosβ

-

sinαsinβ）

-

(cosαcosβ+sinαsinβ）

] 

=-1/2[cos

（α+β）

-cos

（α

-

β）

] 

其他的

3

个式子也是相同的证明方法。

（该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积）

法

2 

根据欧拉公式，

e^ix=cosx+isinx 

令

x=a+b 

得

e 

^I

（

a+b

）

=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-

sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos

（

a+b

）

+isin

（

a+b

）

所以

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb 

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa 

记忆方法

积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下

面指出了特点各自的简单记忆方法。